2024/04/17

問題

1　展開せよ。
$(1) \quad (x+4)^3$
$(2) \quad (x-3)^3$
$(3) \quad (2a+b)^3$
$(4) \quad (4x-5y)^3$

2　展開せよ。
$(1) \quad (x+5)(x^2-5x+25)$
$(2) \quad (3a-1)(9a^2+3a+1)$
$(3) \quad (x+4y)(x^2-4xy+16y^2)$
$(4) \quad (2a-5b)(4a^2+10ab+25b^2)$

3　因数分解せよ。
$(1) \quad x^3+8$
$(2) \quad x^3-27a^3$
$(3) \quad 125x^3+64y^3$
$(4) \quad 40a^3-135b^3$

4　因数分解せよ。
$(1) \quad x^6-64$
$(2) \quad a^6-26a^3-27$
$(3) \quad (x+y)^3+z^3$

5　展開せよ
$(1) \quad (2a+b)^2(4a^2-2ab+b^2)^2$
$(2) \quad (x+3)(x-3)(x^4+9x^2+81)$
$(3) \quad (x+y)(x-2y)(x^2-xy+y^2)(x^2+2xy+4y^2)$

6　因数分解せよ
$(1) \quad x^3-6x^2+12x-8$
$(2) \quad 8x^3+6x^2+3x+1$
$(3) \quad 64a^3-240a^2b+300ab^2-125b^3$

答え

1　展開せよ。
$(1) \quad (x+4)^3$
$={}_3 \mathrm{ C }_0x^3\cdot4^0+{}_3 \mathrm{ C }_1x^2\cdot4^1+{}_3 \mathrm{ C }_2x^1\cdot4^2+{}_3 \mathrm{ C }_3x^0\cdot4^3$
$=1\cdot x^3\cdot 1+\displaystyle\frac{3}{1!}x^2\cdot4+\displaystyle\frac{3\cdot 2}{2!}x\cdot16+\displaystyle\frac{3\cdot 2\cdot 1}{3!}\cdot 1\cdot64$
$=x^3+12x^2+48x+64$

$(2) \quad (x-3)^3$
$={}_3 \mathrm{ C }_0x^3\cdot(-3)^0+{}_3 \mathrm{ C }_1x^2\cdot(-3)^1+{}_3 \mathrm{ C }_2x^1\cdot(-3)^2+{}_3 \mathrm{ C }_3x^0\cdot(-3)^3$
$=1\cdot x^3\cdot 1+\displaystyle\frac{3}{1!}x^2\cdot(-3)+\displaystyle\frac{3\cdot 2}{2!}x\cdot 9+\displaystyle\frac{3\cdot 2\cdot 1}{3!}\cdot 1\cdot(-27)$
$=x^3-9x^2+27x-27$

$(3) \quad (2a+b)^3$
$={}_3 \mathrm{ C }_0(2a)^3\cdot(b)^0+{}_3 \mathrm{ C }_1(2a)^2\cdot(b)^1+{}_3 \mathrm{ C }_2(2a)^1\cdot(b)^2+{}_3 \mathrm{ C }_3(2a)^0\cdot(b)^3$
$=1\cdot (2a)^3\cdot 1+\displaystyle\frac{3}{1!}(2a)^2\cdot b+\displaystyle\frac{3\cdot 2}{2!}2a\cdot b^2+\displaystyle\frac{3\cdot 2\cdot 1}{3!}\cdot 1\cdot b^3$
$=8a^3+12a^2b+6ab^2+b^3$

$(4) \quad (4x-5y)^3$
$={}_3 \mathrm{ C }_0(4x)^3\cdot(-5y)^0+{}_3 \mathrm{ C }_1(4x)^2\cdot(-5y)^1+{}_3 \mathrm{ C }_2(4x)^1\cdot(-5y)^2+{}_3 \mathrm{ C }_3(4x)^0\cdot(-5y)^3$
$=1\cdot (4x)^3\cdot 1+\displaystyle\frac{3}{1!}(4x)^2\cdot (-5y)+\displaystyle\frac{3\cdot 2}{2!}4x\cdot 25y^2+\displaystyle\frac{3\cdot 2\cdot 1}{3!}\cdot 1\cdot (-125)y^3$
$=64x^3-240x^2y+300xy^2-125y^3$

2　展開せよ。
$(1) \quad (x+5)(x^2-5x+25)$
$=x^3+5^3$
$=x^3+125$

$(2) \quad (3a-1)(9a^2+3a+1)$
$=(3a)^3-1^3$
$=27a^3-1$

$(3) \quad (x+4y)(x^2-4xy+16y^2)$
$=x^3+(4y)^3$
$=x^3+64y^3$

$(4) \quad (2a-5b)(4a^2+10ab+25b^2)$
$=(2a)^3-(5b)^3$
$=8a^3-125b^3$

3　因数分解せよ。
$(1) \quad x^3+8$
$=(x+2)(x^2-2x+4)$

$(2) \quad x^3-27a^3$
$=(x-3a)(x^2+3ax+9a^2)$

$(3) \quad 125x^3+64y^3$
$=(5x+4y)(25x^2-20xy+16y^2)$

$(4) \quad 40a^3-135b^3$
$=5(8a^3-27b^3)$
$=5(2a-3b)(4a^2+6ab+9b^2)$

4　因数分解せよ。
$(1) \quad x^6-64$
$=(x^2)^3-4^3$
$=(x^2-4)(x^4+4x^2+16)$
$=(x-2)(x+2)\{(x^2+4)^2-4x^2\}$
$=(x-2)(x+2)(x^2-2x+4)(x^2+2x+4)$

$(2) \quad a^6-26a^3-27$
$=(a^3)^2-26a^3-27$
$=(a^3-27)(a^3+1)$
$=(a-3)(a+1)(a^2+3a+9)(a^2-a+1)$

$(3) \quad (x+y)^3+z^3$
$=\{(x+y)+z \}\{ (x+y)^2-(x+y)z+z^2 \}$
$=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy-yz-zx)$

5　展開せよ
$(1) \quad (2a+b)^2(4a^2-2ab+b^2)^2$
$=(8a^3+b^3)^2$
$=64a^6+16a^3b^3+b^6$

$(2) \quad (x+3)(x-3)(x^4+9x^2+81)$
$=(x^2-9)(x^4+9x^2+81)$
$=x^6-729$

$(3) \quad (x+y)(x-2y)(x^2-xy+y^2)(x^2+2xy+4y^2)$
$=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$
$=(x^3+y^3)(x^3-8y^3)$
$=x^6-7x^3y^3-8y^6$

6　因数分解せよ
$(1) \quad x^3-6x^2+12x-8$
$=(x^3-8)-(6x^2-12x)$
$=(x-2)(x^2+2x+4)-6x(x-2)$
$=(x-2)(x^2-4x+4)$
$=(x-2)(x-2)^2$
$=(x-2)^3$

$(2) \quad 8x^3+6x^2+3x+1$
$=(8x^3+1)+(6x^2+3x)$
$=(2x+1)(4x^2-2x+1)+3x(2x+1)$
$=(2x+1)(4x^2+x+1)$

$(3) \quad 64a^3-240a^2b+300ab^2-125b^3$
$=(4a-5b)^3$

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