2021/03/10
１
(1)
$4-(-6)×2$
$4+12$
$=16$
(2)
$\displaystyle\frac{ x-2y }{ 2 }-\frac{ 3x-y }{ 6 }$
$=\displaystyle\frac{ 3(x-2y)-(3x-y) }{ 6 }$
$=\displaystyle\frac{ 3x-6y-3x+y }{ 6 }$
$=-\displaystyle\frac{ 5y }{ 6 }$
(3)
$(x-3y)(x+4y)-xy$
$=x^2+xy-12y^2-xy$
$=x^2-12y^2$
(4)
$a^2+2a$
$=a(a+2)$
代入して、
$(\sqrt{ 3 }-1)(\sqrt{ 3 }-1+2)$
=$(\sqrt{ 3 }-1)(\sqrt{ 3 }+1)$
$=3-1$
$=2$
(5)
$\displaystyle\frac{ 3 }{ 2 }x+1=10$
$\displaystyle\frac{ 3 }{ 2 }x=9$
$(x=9×\displaystyle\frac{ 2 }{ 3 }$
$x=6$
(6)
必要な牛乳を$x$mLとすると、
$450:(180+x)=5:3$
$5(180+x)=450×3$
$180+x=270$
$x=270-180=90(mL)$
(7)
$x+4y=-1$-①
$-2x+y+11$-②
①×2+②
$2x+8y-2x+y=-2+11$
$9y=9$
$y=1$
①に代入して、
$x+4=-1$
$x=-5$
(8)
$2x^2-5x+1$は因数分解できないので解の公式を使う。
$x=\displaystyle\frac{ 5±\sqrt{ 5^2-4×2×1 } }{ 2×2 }$
$=\displaystyle\frac{ 5±\sqrt{ 17 } }{ 4 }$
(9)
平均値
クラス全員が読んだ本の冊数は、1+4+9+16+30+18+7=85だから平均値は、
85÷20=4.25冊。
中央値
中央値は10番目と11番目の度数の平均だから(4+5)÷2=4.5冊。
最頻値
最頻値は一番度数の大きい階級値だから5冊。
したがって、最も大きい代表値はウの最頻値。
(10)
$10<\sqrt{ n }<11$の辺々を2乗して、
$100<n<121$-①
また、$\sqrt{ 7n }$が整数になることから、nは7に(ある数の2乗)をかけた数である。-②
①の範囲にある7の倍数は、
$105(=7×15),112(7×16),119(7×17)$
この中で②を満たすのは112
$∴n=112$
(11)
外角は、その外角と隣り合う内角以外の２つの内角の和に等しいから、
$x=44+62=106(度)$
(12)
おうぎ形の面積は中心角に比例するから、
$5^2π×\displaystyle\frac{ 240 }{ 360 }$
$=\displaystyle\frac{ 50π }{ 3 }(㎠)$
(13)
仮定のAB=OAから、⊿OABは正三角形だから∠AOB=60°
同一弧上の円周角は中心角の半分だから∠ACB=30°
$∴∠BAC=180-78-30=72°$
(14)
辺ABを軸として１回転させてできる円錐の体積をP
辺BCを軸として１回転させてできる円錐の体積をQ
とすると、
$P=3^2π×2×\displaystyle\frac{ 1 }{ 3 }$
$Q=2^2π×3×\displaystyle\frac{ 1 }{ 3 }$
$P÷Q=\displaystyle\frac{ 3 }{ 2 }$
$∴\displaystyle\frac{ 3 }{ 2 }$倍
(15)
立方体の一辺は10㎝である。
三角錐H-DEGの体積は⊿HEGを底面、DHを高さに見ると、
$10×10×\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }×10×\frac{ 1 }{ 3 }=\frac{ 1000 }{ 6 }$
ここで、⊿DEGの面積を考える。
DE,EG,GDはいずれも立方体の側面の対角線だから、
DE=EG=GDで⊿DEGは正三角形。
$FE:EG=1:\sqrt{ 2 }$だから、
$EG=10\sqrt{ 2 }$-①
DからEGに下した垂線の足とEGとの交点をIとすると、
二等辺三角形の頂点から底辺へ引いた垂線は底辺を2等分するから、
$EI=5\sqrt{ 2 }$
ここで、$EI:ED:DI=1:2:\sqrt{ 3 }$から、
$DI=5\sqrt{ 2 }×\sqrt{ 3 }$
$=5\sqrt{ 6 }$-②
①と②から、
$⊿DEGの面積=10\sqrt{ 2 }×5\sqrt{ 6 }×\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }$
$=50\sqrt{ 3 }$
⊿DEGを底面としたときの高さを$x$とすると、
$\displaystyle50\sqrt{ 3 }×x×\frac{ 1 }{ 3 }=\frac{ 1000 }{ 6 }$
$x=\displaystyle\frac{ 1000×3 }{ 6×50\sqrt{ 3 } }$
$=\displaystyle\frac{ 10 }{ \sqrt{ 3 } }$
$=\displaystyle\frac{ 10\sqrt{ 3 } }{ 3 }$(㎝)
２
(1)
①
変化の割合$=\displaystyle\frac{ yの増加量 }{ xの増加量 }$だから、
$\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{ 6 }{ 3 }-\frac{ 6 }{ 1 } }{ 3-1 }$
$=\displaystyle\frac{ -4 }{ 2 }$
$=-2$
②y軸に近づくほど傾きの絶対値は大きい。
したがって、エのc<d<b<a
(2)
①
1列目の規則性は偶数行目が「その行目」×５になっていること。
だから、6行目は6×5＝30
②
3列目は初項が３で５つずつ増えていく数列。
1行目 5×0+3
2行目 5×1+3
3行目 5×2+3
：
：
n行目 5×(n-1)+3
$∴5n-2$
(3)
∠BDC=90°だから、BCを直径とする⊿DBCの外接円を描き、円とACとの交点をPとする。
同一弧上の円周角は等しいので∠BCD=∠BPDになる。
(4)
みちのりの和は30㎞だから、
$x+Y=30$-ア
x㎞を時速12㎞、y㎞を時速9㎞で走って3時間かかったから、
$\displaystyle\frac{ 12 }{ x }+\frac{ 9 }{ y }=3$-イ
かかった時間を足すと3時間だから、
$x+Y=3$-ウ
時速12㎞でx時間、時速9㎞でy時間走った結果、合計30㎞移動したので、
$12x+9y=30$-エ
3
(1)
⊿ABCと⊿ADEにおいて、∠Aは共通-①
DE//BCから、平行線の同位角は等しいので∠ABC=∠ADE-②
①と②から、2組の角がそれぞれ等しいので$⊿ABC∽⊿ADE$
(2)
①
一組の対辺の長さが等しく且つ平行だから-a
②
AC=BD-エ-ｂ
理由：AC=BDになると、４つの辺が全て等しくなるから
(3)
$AC=x,BD=y$とすると、四角形ABCDの面積は$\displaystyle\frac{ xy }{ 2 }$
だから、題意から$xy=36-⓪$
また、$EF:AC=1:3から、EF:x=1:3$
$∴EF=\displaystyle\frac{ x }{ 3 }-①$
さらに$EH:BD=2:3から、EH:y=2:3$
$∴EH=\displaystyle\frac{ 2y }{ 3 }-②$
$①と②から$
四角形EFGHの面積は、
$EF×EH=\displaystyle\frac{ 2xy }{ 9 }$
⓪を代入して、
$2×36÷9=8(㎠)$
4
(1)
①
x>$y$になる組み合わせは、
$y$が1のとき4通り
$y$が2のとき3通り
$ｙ$が3のとき2通り
$ｙ$が4のとき1通り
②
$x$と$y$の組み合わせを$(x,y)$とあらわすことにすれば、
2つとも奇数になる場合は、
$(x,y)=(1,3),(1,5),(3,5)$
の3通り。
5つの玉から同時に2個取り出す場合の数は
４+3+2+1=10通りだから
どちらの玉に書かれている数字も奇数になる確率は
$\displaystyle\frac{ 3 }{ 10 }$
したがって、少なくても1個の玉に書かれている数が偶数になる確率は、
$1-\displaystyle\frac{ 3 }{ 10 }=\displaystyle\frac{ 7 }{ 10 }$
(2)
100a+10b+c-a-b-c
=99a+9b
=9(11a+b)
11a+bは整数だから、9(11a+b)は9の倍数である。
５
Ⅰ
(1)
$A(8,0),B(2,3)$だから、
三平方の定理により、
$AB=\sqrt{ 3^2+6^2 }=\sqrt{ 45 }=3\sqrt{ 5 }$
(2)
$A(8,0),B(2,3)$を通るから、
$y=\displaystyle\frac{ 3-0 }{ 2-8 }(x-8)+0$
$y=-\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }x+4$
(3)
$p$の$x$座標を$a$とするとy座標は$\displaystyle\frac{ 3 }{ 2 }a$と表すことができる。
⊿BPAの面積は$⊿OPA-⊿OBA$であり、C(0,4)である。
今、$⊿COPの面積=⊿BAPの面積$であるから、次の等式が成り立つ。
$4×a×\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }=8×\frac{ 3a }{ 2 }×\frac{ 1 }{ 2 }-8×3×\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }$
$2a=6a-12$
$12=4a$
$a=3$
5
Ⅱ
(1)
㋑は$y=3x-5$だからCは$(\displaystyle\frac{ 5 }{ 3 },0)$で$B(0,3)$だから、
直線BCは、
$y=\displaystyle\frac{ 3-0 }{ 0-\displaystyle\frac{ 5 }{ 3 } }(x-0)+3$
$y=-\displaystyle\frac{ 9 }{ 5 }x+3$
(2)
①
Pは$y=3x-5$上にあるから、$x$座標を$a$とすると、
$P(a,3a-5)$と表せる。
BD=8で、題意から$BD^2=PD^2$だから、
$(a-0)^2+{(3a-5)-(-5)}^2=8^2$
$a^2+9a^2=8^2$
$10a^2=8^2$
$a^2=\displaystyle\frac{ 8^2 }{ \sqrt{ 10 } }$
$=\displaystyle\frac{ 8\sqrt{ 10 } }{ 10 }$
$=\displaystyle\frac{ 4\sqrt{ 10 } }{ 5 }$
②
点Bから引いたOAとの平行線と㋑との交点Pが求める座標。
等積変形により、⊿BOA＝⊿PAOで、⊿QOAが共有されているので、
⊿OBQ=⊿APQになる。
OAは原点と(3,4)を通る直線だから、$y=\displaystyle\frac{ 4 }{ 3 }x$
BPはOAと並行でy切片が3だから、$y=\displaystyle\frac{ 4 }{ 3 }x+3$-①
㋑は$y=3x-5$-②
①②の連立を解くと、
$\displaystyle\frac{ 4 }{ 3 }x+3=3x-5$
$4x+9=9x-15$
$-5x=-24$
$x=\displaystyle\frac{ 24 }{ 5 }$