令和3年度秋田県公立高等学校入学者選抜 一般選抜学力検査問題 数学 [2021年03月09日] 解説

(1)

$4-(-6)×2$

$4+12$

$=16$

(2)

$\displaystyle\frac{ x-2y }{ 2 }-\frac{ 3x-y }{ 6 }$

$=\displaystyle\frac{ 3(x-2y)-(3x-y) }{ 6 }$
$=\displaystyle\frac{ 3x-6y-3x+y }{ 6 }$
$=-\displaystyle\frac{ 5y }{ 6 }$

(3)

$(x-3y)(x+4y)-xy$

$=x^2+xy-12y^2-xy$
$=x^2-12y^2$

(4)

$a^2+2a$

$=a(a+2)$

代入して、

$(\sqrt{ 3 }-1)(\sqrt{ 3 }-1+2)$

=$(\sqrt{ 3 }-1)(\sqrt{ 3 }+1)$
$=3-1$

$=2$

(5)

$\displaystyle\frac{ 3 }{ 2 }x+1=10$

$\displaystyle\frac{ 3 }{ 2 }x=9$

$(x=9×\displaystyle\frac{ 2 }{ 3 }$

$x=6$

(6)

必要な牛乳を$x$mLとすると、

$450:(180+x)=5:3$

$5(180+x)=450×3$

$180+x=270$

$x=270-180=90(mL)$

(7)

$x+4y=-1$-①

$-2x+y+11$-②

①×2+②

$2x+8y-2x+y=-2+11$

$9y=9$

$y=1$

①に代入して、

$x+4=-1$

$x=-5$

(8)

$2x^2-5x+1$は因数分解できないので解の公式を使う。

$x=\displaystyle\frac{ 5±\sqrt{ 5^2-4×2×1 } }{ 2×2 }$

$=\displaystyle\frac{ 5±\sqrt{ 17 } }{ 4 }$

(9)

平均値

クラス全員が読んだ本の冊数は、1+4+9+16+30+18+7=85だから平均値は、

85÷20=4.25冊。

中央値

中央値は10番目と11番目の度数の平均だから(4+5)÷2=4.5冊。

最頻値

最頻値は一番度数の大きい階級値だから5冊。

したがって、最も大きい代表値はウの最頻値。

(10)

$10<\sqrt{ n }<11$の辺々を2乗して、

$100<n<121$-①

また、$\sqrt{ 7n }$が整数になることから、nは7に(ある数の2乗)をかけた数である。-②

①の範囲にある7の倍数は、

$105(=7×15),112(7×16),119(7×17)$

この中で②を満たすのは112

$∴n=112$

(11)

外角は、その外角と隣り合う内角以外の2つの内角の和に等しいから、

$x=44+62=106(度)$

(12)

おうぎ形の面積は中心角に比例するから、

$5^2π×\displaystyle\frac{ 240 }{ 360 }$

$=\displaystyle\frac{ 50π }{ 3 }(㎠)$

(13)

仮定のAB=OAから、⊿OABは正三角形だから∠AOB=60°

同一弧上の円周角は中心角の半分だから∠ACB=30°

$∴∠BAC=180-78-30=72°$

(14)

辺ABを軸として1回転させてできる円錐の体積をP

辺BCを軸として1回転させてできる円錐の体積をQ

とすると、

$P=3^2π×2×\displaystyle\frac{ 1 }{ 3 }$

$Q=2^2π×3×\displaystyle\frac{ 1 }{ 3 }$

$P÷Q=\displaystyle\frac{ 3 }{ 2 }$

$∴\displaystyle\frac{ 3 }{ 2 }$倍

(15)

立方体の一辺は10㎝である。

三角錐H-DEGの体積は⊿HEGを底面、DHを高さに見ると、

$10×10×\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }×10×\frac{ 1 }{ 3 }=\frac{ 1000 }{ 6 }$

ここで、⊿DEGの面積を考える。

DE,EG,GDはいずれも立方体の側面の対角線だから、

DE=EG=GDで⊿DEGは正三角形。

$FE:EG=1:\sqrt{ 2 }$だから、

$EG=10\sqrt{ 2 }$-①

DからEGに下した垂線の足とEGとの交点をIとすると、

二等辺三角形の頂点から底辺へ引いた垂線は底辺を2等分するから、

$EI=5\sqrt{ 2 }$

ここで、$EI:ED:DI=1:2:\sqrt{ 3 }$から、

$DI=5\sqrt{ 2 }×\sqrt{ 3 }$

$=5\sqrt{ 6 }$-②

①と②から、

$⊿DEGの面積=10\sqrt{ 2 }×5\sqrt{ 6 }×\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }$

$=50\sqrt{ 3 }$

⊿DEGを底面としたときの高さを$x$とすると、

$\displaystyle50\sqrt{ 3 }×x×\frac{ 1 }{ 3 }=\frac{ 1000 }{ 6 }$

$x=\displaystyle\frac{ 1000×3 }{ 6×50\sqrt{ 3 } }$

$=\displaystyle\frac{ 10 }{ \sqrt{ 3 } }$

$=\displaystyle\frac{ 10\sqrt{ 3 } }{ 3 }$(㎝)

(1)

$変化の割合=\displaystyle\frac{ yの増加量 }{ xの増加量 }だから、

$\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{ 6 }{ 3 }-\frac{ 6 }{ 1 } }{ 3-1 }$

$=\displaystyle\frac{ -4 }{ 2 }

$=-2$

②y軸に近づくほど傾きの絶対値は大きい。

したがって、エのc<d<b<a

(2)

1列目の規則性は偶数行目が「その行目」×5になっていること。

だから、6行目は6×5=30

3列目は初項が3で5つずつ増えていく数列。

1行目 5×0+3

2行目 5×1+3

3行目 5×2+3

n行目 5×(n-1)+3

$∴5n-2$

(3)

∠BDC=90°だから、BCを直径とする⊿DBCの外接円を描き、円とACとの交点をPとする。

同一弧上の円周角は等しいので∠BCD=∠BPDになる。

(4)

みちのりの和は30㎞だから、

$x+Y=30$-ア

x㎞を時速12㎞、y㎞を時速9㎞で走って3時間かかったから、

$\displaystyle\frac{ 12 }{ x }+\frac{ 9 }{ y }=3$-イ

かかった時間を足すと3時間だから、

$x+Y=3$-ウ

時速12㎞でx時間、時速9㎞でy時間走った結果、合計30㎞移動したので、

$12x+9y=30$-エ

3

(1)

⊿ABCと⊿ADEにおいて、∠Aは共通-①

DE//BCから、平行線の同位角は等しいので∠ABC=∠ADE-②

①と②から、2組の角がそれぞれ等しいので$⊿ABC∽⊿ADE$

(2)

一組の対辺の長さが等しく且つ平行だから-a

AC=BD-エ-b

理由:AC=BDになると、4つの辺が全て等しくなるから

(3)

$AC=x,BD=y$とすると、四角形ABCDの面積は$\displaystyle\frac{ xy }{ 2 }$

だから、題意から$xy=36-⓪

また、EF:AC=1:3から、EF:x=1:3

∴EF=\displaystyle\frac{ x }{ 3 }-①

さらにEH:BD=2:3から、EH:y=2:3

∴EH=\displaystyle\frac{ 2y }{ 3 }-②

①と②から

四角形EFGHの面積は、

EF×EH=\displaystyle\frac{ 2xy }{ 9 }

⓪を代入して、

2×36÷9=8(㎠)

4

(1)

x>$y$になる組み合わせは、

$y$が1のとき4通り

$y$が2のとき3通り

$y$が3のとき2通り

$y$が4のとき1通り

$x$と$y$の組み合わせを$(x,y)$とあらわすことにすれば、

2つとも奇数になる場合は、

$(x,y)=(1,3),(1,5),(3,5)$

の3通り。

5つの玉から同時に2個取り出す場合の数は

4+3+2+1=10通りだから

どちらの玉に書かれている数字も奇数になる確率は

$\displaystyle\frac{ 3 }{ 10 }$

したがって、少なくても1個の玉に書かれている数が偶数になる確率は、

$1-\displaystyle\frac{ 3 }{ 10 }=\displaystyle\frac{ 7 }{ 10 }$

(2)

100a+10b+c-a-b-c

=99a+9b

=9(11a+b)

11a+bは整数だから、9(11a+b)は9の倍数である。

(1)

$A(8,0),B(2,3)$だから、

三平方の定理により、

$AB=\sqrt{ 3^2+6^2 }=\sqrt{ 45 }=3\sqrt{ 5 }$

(2)

$A(8,0),B(2,3)$を通るから、

$y=\displaystyle\frac{ 3-0 }{ 2-8 }(x-8)+0$

$y=-\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }x+4$

(3)

$p$の$x$座標を$a$とするとy座標は$\displaystyle\frac{ 3 }{ 2 }a$と表すことができる。

⊿BPAの面積は$⊿OPA-⊿OBA$であり、C(0,4)である。

今、$⊿COPの面積=⊿BAPの面積$であるから、次の等式が成り立つ。

$4×a×\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }=8×\frac{ 3a }{ 2 }×\frac{ 1 }{ 2 }-8×3×\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }$

$2a=6a-12$

$12=4a$

$a=3$

5

(1)

㋑は$y=3x-5$だからCは$(\displaystyle\frac{ 5 }{ 3 },0)$で$B(0,3)$だから、

直線BCは、

$y=\displaystyle\frac{ 3-0 }{ 0-\displaystyle\frac{ 5 }{ 3 } }(x-0)+3$

$y=-\displaystyle\frac{ 9 }{ 5 }x+3$

(2)

Pは$y=3x-5$上にあるから、$x$座標を$a$とすると、

$P(a,3a-5)$と表せる。

BD=8で、題意から$BD^2=PD^2$だから、

$(a-0)^2+{(3a-5)-(-5)}^2=8^2$

$a^2+9a^2=8^2$

$10a^2=8^2$

$a^2=\displaystyle\frac{ 8^2 }{ \sqrt{ 10 } }$

$=\displaystyle\frac{ 8\sqrt{ 10 } }{ 10 }$

$=\displaystyle\frac{ 4\sqrt{ 10 } }{ 5 }$

点Bから引いたOAとの平行線と㋑との交点Pが求める座標。

等積変形により、⊿BOA=⊿PAOで、⊿QOAが共有されているので、

⊿OBQ=⊿APQになる。

OAは原点と(3,4)を通る直線だから、$y=\displaystyle\frac{ 4 }{ 3 }x$

BPはOAと並行でy切片が3だから、$y=\displaystyle\frac{ 4 }{ 3 }x+3$-①

㋑は$y=3x-5$-②

①②の連立を解くと、

$\displaystyle\frac{ 4 }{ 3 }x+3=3x-5$

$4x+9=9x-15$

$-5x=-24$

$x=\displaystyle\frac{ 24 }{ 5 }$

 

 

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