共通テスト数学ⅡB解説 第1問 [2](1)(2021年1月17日施行分)

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$f(x)=\displaystyle\frac{ 2^x+2^{-x} }{ 2 },g(x)=\displaystyle\frac{ 2^x-2^{-x} }{ 2 }$であるから、

$f(0)=\displaystyle\frac{ 2^0+2^{-0} }{ 2 }$

$=\displaystyle\frac{ 1+1 }{ 2 }$

=1…セ

$g(0)=\displaystyle\frac{ 2^0-2^{-0} }{ 2 }$

$=\displaystyle\frac{ 1-1 }{ 2 }$

=0…ソ

$f(x)$は相加相乗平均の関係から、

$\displaystyle\frac{ 2^x+2^{-x} }{ 2 }≧\sqrt{ 2^x・2^{-1} }=1$

等式が成り立つのは、$2^x=2^{-x}$のとき、即ち$x=0$のときである。

したがって、$f(x)$は$x=0$で最小値1をとる。…タチ

$g(x)=2$となる$x$の値は、

$\displaystyle\frac{ 2^x-2^{-x} }{ 2 }=-2$より、

$2^x-2^{-x}=-4$

$2^x-2^{-x}+4=0$

$2^x=t$と置くと、

$t-\displaystyle\frac{ 1 }{ t }+4=0$

$\displaystyle\frac{ t^2+4t-1 }{ t }=0$

$t≠0$より、

$t^2+4t-1=0$

t>0から、

$t=-2+\sqrt{ 5 }$

即ち、

$2^x=-2+\sqrt{ 5 }$

$x=log_{2}(\sqrt{ 5 }-2)$…ツテ