共通テスト数学ⅡB解説 第1問 [1](2)(2021年1月17日施行分)

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関数$y=sinθ+pcosθ (0≦θ≦\frac{π}{2}$)の最大値を求めよ。

(ⅰ)$p=0$のとき、yは$\displaystyle θ=\frac{π}{2}$で最大値1をとる。…オカ

(ⅱ)

与式から

$y=\displaystyle sinθ+pcosθ$

$=\sqrt{ 1+p^2 }cos(θ-α)$

$=\sqrt{ 1+p^2 }cosαcosθ+\sqrt{ 1+p^2 }sinαsinθ$

$=\sqrt{ 1+p^2 }sinαsinθ+\sqrt{ 1+p^2 }cosαcosθ$

恒等式と考え、

$\sqrt{ 1+p^2 }sinα=1$から、

$\displaystyle sinα=\frac{1}{\sqrt{ 1+p^2 }}$…ク

また、

$\sqrt{ 1+p^2 }cosα=p$から、

$\displaystyle cosα=\frac{p}{\sqrt{ 1+p^2 }}$…ケ

$=\sqrt{ 1+p^2 }cos(θ-α)$が最大値を取るのは$cos(θ-α)=1$、すなわち$θ=α$のときであり、

最大値は$\sqrt{ 1+p^2 }$である。…コサ

(ⅲ)

$p<0$のとき、$sinθ+pcosθ$は$cosθ=0$のとき、

即ち$θ=\displaystyle\frac{ π }{ 2 }$のときに最大値をとり、その値は1である。…シス