2021/02/14
∠BACは二等分線であり、⊿ABCは3：4：5の直角二等辺三角形であることから、
BD=
$BC・\displaystyle\frac{ AB }{ AB+AC }$
$=4・\displaystyle\frac{ 3 }{ 8 }$
$=\displaystyle\frac{ 3 }{ 2 }$…アイ
$AD=\sqrt{ AB^2+BD^2 }$
$=\displaystyle\sqrt{ 3^2+(\frac{ 3 }{ 2 })^2 }$
$=\displaystyle\sqrt{ \frac{45 }{ 4 } }$
$=\displaystyle\frac{3 \sqrt{ 5 } }{ 2 }$…ウエオ
点PからACへの垂直線とACの交点をSとすると
⊿ABD∽⊿APSから、
AD:DB=AP:SPだから、
$\displaystyle\frac{3\sqrt{ 5 } }{ 2 }:\displaystyle\frac{ 3 }{ 2 }$
$=AP:r$
よって、$AP=\sqrt{ 5 }r$…カ
また、円Oと円Pの接点と円Pの中心を通る直線FGは円Oの直径であり、∠ABC=90°からACも円Oの直径であるから、ACとFGの交点は円Oの中心である。
したがって、PG=FG-f=AC-r=5-r…ケ
さらに、方べきの定理からrをもとめると、
AP・PE＝GP・PFだから
$\sqrt{ 5 }r・(2\sqrt{ 5 }-sqrt{ 5 }r=r(5-r)$
$10-5r=5-r$
$4r=5$
$r=\displaystyle\frac{ 5 }{ 4 }$…コサ
