共通テスト数学1A解説 第5問 (2021年1月17日施行分)

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∠BACは二等分線であり、⊿ABCは3:4:5の直角二等辺三角形であることから、

BD=

$BC・\displaystyle\frac{ AB }{ AB+AC }$

$=4・\displaystyle\frac{ 3 }{ 8 }$

$=\displaystyle\frac{ 3 }{ 2 }$…アイ

$AD=\sqrt{ AB^2+BD^2 }$

$=\displaystyle\sqrt{ 3^2+(\frac{ 3 }{ 2 })^2 }$

$=\displaystyle\sqrt{ \frac{45 }{ 4 } }$

$=\displaystyle\frac{3 \sqrt{ 5 } }{ 2 }$…ウエオ

点PからACへの垂直線とACの交点をSとすると

⊿ABD∽⊿APSから、

AD:DB=AP:SPだから、

$\displaystyle\frac{3\sqrt{ 5 } }{ 2 }:\displaystyle\frac{ 3 }{ 2 }$

$=AP:r$

よって、$AP=\sqrt{ 5 }r$…カ

また、円Oと円Pの接点と円Pの中心を通る直線FGは円Oの直径であり、∠ABC=90°からACも円Oの直径であるから、ACとFGの交点は円Oの中心である。

したがって、PG=FG-f=AC-r=5-r…ケ

さらに、方べきの定理からrをもとめると、

AP・PE=GP・PFだから

$\sqrt{ 5 }r・(2\sqrt{ 5 }-sqrt{ 5 }r=r(5-r)$

$10-5r=5-r$

$4r=5$

$r=\displaystyle\frac{ 5 }{ 4 }$…コサ