2021/02/10
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当たりくじを引く確率が$\frac{1}{2}$である箱A,$\frac{1}{3}$である箱B,$\frac{1}{24}$である箱Cから一つ選び、くじを引いては元に戻す試行を３回繰り返したら、３回中１回当たった。選んだ箱がAである条件付確率は？
セソタチツテ
箱Aが選ばれる事象をA,箱Bが選ばれる事象をB、箱Cが選ばれる事象をC,３回中ちょうど１回当たる確率をWとすると、
$P(A∩W)=\displaystyle\frac{ 1 }{ 3 }・{}_3 \mathrm{ C }_1・(\frac{1}{2})・(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{8}$
$P(B∩W)=\displaystyle\frac{ 1 }{ 3 }・{}_3 \mathrm{ C }_1・(\frac{1}{3})・(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{27}$
$P(C∩W)=\displaystyle\frac{ 1 }{ 3 }・{}_3 \mathrm{ C }_1・(\frac{1}{4})・(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{64}$
したがって、$P(W)=\displaystyle\frac{1}{8}+\frac{4}{27}+\frac{9}{64}=\frac{216+256+243}{1728}$
$∴選んだ箱がAである条件付確率は、\displaystyle P_{ W }(A)=\frac{1}{8}・\frac{1728}{715}$
分子分母を８で割り、
$=\displaystyle\frac{ 216 }{ 715 }$…セソタチツテ