共通テスト数学1A解説 第3問(1) (2021年1月17日施行分)

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試験問題は大学入試センターのホームページなどをご参照ください。

(1)

(ⅰ)

当たる確率が$\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }$のAの箱から

くじを引いては戻す試行を3回繰り返し

1回だけ当たる確率は、反復試行の公式を使って、

${}_3 \mathrm{ C }_1(\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 })(\frac{ 1 }{ 2 })^2$

$=3・\displaystyle\frac{1}{8}$

$=\displaystyle\frac{ 3 }{ 8 }$-①…アイ

同様に、当たる確率が$\displaystyle\frac{ 1 }{ 3 }$のBの箱から

くじを引いては戻す試行を3回繰り返し

1回だけ当たる確率も、反復試行の公式を使って、

${}_3 \mathrm{ C }_1(\displaystyle\frac{ 1 }{ 3 })(\frac{ 2 }{ 3 })^2$

$=3・\displaystyle\frac{ 4 }{ 3^2 }$

$=\displaystyle\frac{ 4 }{ 9 }$-②…ウエ

(ⅱ)

次に、ランダムに箱Aか箱Bを選んで、くじを引いては戻す試行を3回繰り返したら3回中1回だけ当たりが出た。

さて、選んだ箱がAである条件付確率はいくらか?

箱Aが選ばれる事象をA、箱Bが選べれる事象をB、3回の試行のうち1回だけ当たる事象をWとすると、

箱Aを選んで当たる確率は①から、

$P(A∩W)=\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }×\frac{3}{8}$

$=\displaystyle\frac{ 3 }{ 16 }$

また、箱Bを選んで当たる確率は②から、

$P(B∩W)=\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }×\frac{4}{9}$

$=\displaystyle\frac{ 4 }{ 18 }$

したがって、箱Aか箱Bをランダムに選んで3回の試行のうち1回だけ当たる確率P(W)は、

この二つの試行が排反事象であることから、

$P(W)=\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }×\frac{3}{8}+\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }×\frac{4}{9}$

$=\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }(\frac{3}{8}+\frac{4}{9})$

$=\displaystyle\frac{1}{2}・\frac{59}{72}$

$=\displaystyle\frac{59}{144}$

であるから、

選んだ箱がAである条件付確率$P_{ w }(A)$、即ち、

箱Aか箱Bをランダムに選び、3回の試行のうち1回だけ当たる確率P(W)の中に占める箱A経由で当たる確率P(A∩W)は、

$\displaystyle\frac{ P(A∩W) }{ P(W) }$

$=\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{ 3 }{ 16 } }{ \displaystyle\frac{ 59 }{ 144 } }$

=\frac{27}{59}…オカキク

なお、$P_{ w }(A)$と選んだ箱がBである条件付確率$P_{ w }(B)$は既述の通り排反であるから、

$P_{ w }(B)$=1-$P_{ w }(A)$

=\displaystyle\frac{ 32 }{ 59 }…ケコサシ