共通テスト数学1A解説 第1問 [2] (2021年1月17日施行分)

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試験問題は大学入試センターのホームページなどをご参照ください。

BC=a, CA=b, AB=c, ∠CAB=A, ∠ABC=B,

∠BCA=C,⊿ABCの各辺に接し、各々の辺と同じ長さを持つ辺を1辺とする正方形を描き、DI,HG,EFを直線で結ぶ。

正方形BFGC,CHIA,ADEBの面積をそれぞれS1,S2,S3、⊿AID,⊿BEF,⊿CGHの面積をそれぞれT1,T2,T3とする。 

(1)

b=6,c=5,$cosA=\displaystyle\frac{ 3 }{ 5 }$のとき、

① $sinAをもとめる$

$0<A<180,cosA>0$から$sinA>0$

$sinA=\sqrt{ 1-cos^2 }$

$=\sqrt{ 1-\displaystyle\frac{ 9 }{ 25 } }$

$=\displaystyle\frac{ 4 }{ 5 }$…セソ

② ⊿ABCの面積を求める

⊿ABCの面積を求める

$=\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }・bcsinA$

$=\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }・6・5・\frac{ 4 }{ 5 }$

$=\displaystyle12$…タチ

③ ⊿AIDの面積を求める

$sin∠DAI$

$=sin(360-90-90-A)$

$=sin(180-A)$

$=sinA$

また、AD=c, AI=bであるから、

$⊿AIDの面積=⊿ABCの面積=12$…ツテ

(2)

Aの値により、S1-S2-S3はどのような値をとるか(負か0か正か正も負もか?)

A=90°のとき$a^2=b^2+c^2$となり、$a^2=S1, b^2=S2, c^2=S3$であることに気付くことがヒントになる。

①0°<A<90°のとき、$a^2<b^2+c^2$となり、S1-S2-S3<0であるから「②負の値である」が正解…ト

②A=90°のとき、$a^2=b^2+c^2$となり、S1-S2-S3=0であるから「⓪0である」が正解…ナ

③90°<A<180°のとき、$a^2>b^2+c^2$となり、S1-S2-S3>0であるから「①正の値である」が正解…二

(3)

(1)の③から

⊿ABCの面積をTとすると、

$T=\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }bc・sinA=\frac{ 1 }{ 2 }bc・sin(180-A)=T1$

$T=\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }ab・sinC=\frac{ 1 }{ 2 }ab・sin(180-C)=T3$

$T=\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }ac・sinB=\frac{ 1 }{ 2 }ac・sin(180-B)=T2$

これらのことから$T1=T2=T3$であるから「③a,b,cの値に関係なく、T1=T2=T3」が正解…ヌ

(4)

0°<A<90°のとき、Aは鋭角で180-Aは鈍角だからID>BC…ネ

⊿AIDと⊿ABCの外接円の半径は、それぞれ$\displaystyle\frac{ ID }{ 2sin(180-A) }、\displaystyle\frac{ BC }{ 2sinA }$だから、

⊿AIDの外接円の半径>⊿ABCの外接円の半径…ノ

⓪⊿ABC ①⊿AID ② ⊿BEF ③⊿CGHのうち、外接円の半径が最も小さい三角形はどれか?

0°<A<B<C<90°のとき、∠IAD、∠EBF、∠GCHはすべて鈍角になるから、DI>BC, EF>AC, GH>ABである。

即ち、⊿ABC、⊿AID、⊿BEF、⊿CGHの外接円の半径をそれぞれR,R1,R2,R3とすると、

$R1=\displaystyle\frac{ DI }{ 2sin(180-A) }>\displaystyle\frac{ BC }{ 2sinA }=R—あ$

$R2=\displaystyle\frac{ EF }{ 2sin(180-B) }>\displaystyle\frac{ AC }{ 2sinB }=R—い$

$R3=\displaystyle\frac{ GH }{ 2sin(180-C) }>\displaystyle\frac{ AB }{ 2sinC }=R—う$

であるから、外接円の半径が最も小さい三角形⓪⊿ABCである。…ハ

0°<A<B<90°<Cのときはどうであろう?

Cは鈍角となり、GH<ABとなるため、上記うの大小関係は逆転して、

$R3=\displaystyle\frac{ GH }{ 2sin(180-C) }<\displaystyle\frac{ AB }{ 2sinC }=R—う’$

となるため、R3、すなわち⊿CGHの外接円の半径が最も小さくなる。…ヒ