2021/02/03
試験問題は大学入試センターのホームページなどをご参照ください。
BC=a, CA=b, AB=c, ∠CAB=A, ∠ABC=B,
∠BCA=C,⊿ABCの各辺に接し、各々の辺と同じ長さを持つ辺を１辺とする正方形を描き、DI,HG,EFを直線で結ぶ。
正方形BFGC,CHIA,ADEBの面積をそれぞれS1,S2,S3、⊿AID,⊿BEF,⊿CGHの面積をそれぞれT1,T2,T3とする。
(1)
b=6,c=5,$cosA=\displaystyle\frac{ 3 }{ 5 }$のとき、
① $sinAをもとめる$
$0<A<180,cosA>0$から$sinA>0$
$sinA=\sqrt{ 1-cos^2 }$
$=\sqrt{ 1-\displaystyle\frac{ 9 }{ 25 } }$
$=\displaystyle\frac{ 4 }{ 5 }$…セソ
② ⊿ABCの面積を求める
⊿ABCの面積を求める
$=\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }・bcsinA$
$=\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }・6・5・\frac{ 4 }{ 5 }$
$=\displaystyle12$…タチ
③ ⊿AIDの面積を求める
$sin∠DAI$
$=sin(360-90-90-A)$
$=sin(180-A)$
$=sinA$
また、AD=c, AI=bであるから、
$⊿AIDの面積=⊿ABCの面積=12$…ツテ
(2)
Aの値により、S1-S2-S3はどのような値をとるか（負か0か正か正も負もか？）
A=90°のとき$a^2=b^2+c^2$となり、$a^2=S1, b^2=S2, c^2=S3$であることに気付くことがヒントになる。
①0°<A<90°のとき、$a^2<b^2+c^2$となり、S1-S2-S3<0であるから「②負の値である」が正解…ト
②A=90°のとき、$a^2=b^2+c^2$となり、S1-S2-S3=0であるから「⓪0である」が正解…ナ
③90°<A<180°のとき、$a^2>b^2+c^2$となり、S1-S2-S3>0であるから「①正の値である」が正解…二
(3)
(1)の③から
⊿ABCの面積をTとすると、
$T=\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }bc・sinA=\frac{ 1 }{ 2 }bc・sin(180-A)=T1$
$T=\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }ab・sinC=\frac{ 1 }{ 2 }ab・sin(180-C)=T3$
$T=\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 }ac・sinB=\frac{ 1 }{ 2 }ac・sin(180-B)=T2$
これらのことから$T1=T2=T3$であるから「③a,b,cの値に関係なく、T1=T2=T3」が正解…ヌ
(4)
0°<A<90°のとき、Aは鋭角で180-Aは鈍角だからID>BC…ネ
⊿AIDと⊿ABCの外接円の半径は、それぞれ$\displaystyle\frac{ ID }{ 2sin(180-A) }、\displaystyle\frac{ BC }{ 2sinA }$だから、
⊿AIDの外接円の半径>⊿ABCの外接円の半径…ノ
⓪⊿ABC ①⊿AID ② ⊿BEF ③⊿CGHのうち、外接円の半径が最も小さい三角形はどれか？
0°<A<B<C<90°のとき、∠IAD、∠EBF、∠GCHはすべて鈍角になるから、DI>BC, EF>AC, GH>ABである。
即ち、⊿ABC、⊿AID、⊿BEF、⊿CGHの外接円の半径をそれぞれR,R1,R2,R3とすると、
$R1=\displaystyle\frac{ DI }{ 2sin(180-A) }>\displaystyle\frac{ BC }{ 2sinA }=R—あ$
$R2=\displaystyle\frac{ EF }{ 2sin(180-B) }>\displaystyle\frac{ AC }{ 2sinB }=R—い$
$R3=\displaystyle\frac{ GH }{ 2sin(180-C) }>\displaystyle\frac{ AB }{ 2sinC }=R—う$
であるから、外接円の半径が最も小さい三角形⓪⊿ABCである。…ハ
0°<A<B<90°<Cのときはどうであろう？
Cは鈍角となり、GH<ABとなるため、上記うの大小関係は逆転して、
$R3=\displaystyle\frac{ GH }{ 2sin(180-C) }<\displaystyle\frac{ AB }{ 2sinC }=R—う’$
となるため、R3、すなわち⊿CGHの外接円の半径が最も小さくなる。…ヒ