共通テスト数学1A 解説 第1問 [1] (2021年1月17日施行分)

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試験問題は大学入試センターのホームページなどをご参照ください。

(1)

①にc=1を代入すると、

$2x^2+x+2-1-11=0$

$2x^2+x-10=0$

2 +5

1 -2

$(2x+5)(x-2)=0$…アイウ

(2)

c=2のとき①は、

$2x^2+(4・2-3)x+2・2^2-2-11=0$

$2x^2+5x-5=0$

$x=\displaystyle\frac{ -5±\sqrt{ 25+40 }}{ 2・2 }$

$=\displaystyle\frac{-5±\sqrt{65}}{4}$…エオカキ

$α=\displaystyle\frac{-5+\sqrt{65}}{4}$だから、

$\displaystyle\frac{ 5 }{ α }=5・\frac{ 4 }{ -5+\sqrt{ 65 } }$

$\displaystyle=\frac{ 20(5+\sqrt{ 65 }) }{ (-5+\sqrt{ 65 })(5+\sqrt{ 65 })}$

$\displaystyle=\frac{ 20(5+\sqrt{ 65 }) }{ 65-25 }$

$\displaystyle=\frac{ 5+\sqrt{ 65 }}{ 2 }$…クケコサ

また、$m<\displaystyle\frac{ 5 }{ α }<m+1$を満たす整数$m$は$\displaystyle\frac{ 5 }{ α }$の整数部分であるから、

$\displaystyle=\frac{ 5+\sqrt{ 65 }}{ 2 }$

$\displaystyle=2.5+\sqrt{\frac{ 65 }{ 4 }}$

$=2.5+\sqrt{ 16.025 }$

$\sqrt{ 16=4^2 }<\sqrt{ 16.025 }<\sqrt{ 20.25=4.5^2 }$だから

辺々2.5を加え、

$2.5+4<2.5+\sqrt{ 16.025 }<2.5+4.5$

すなわち、

$6.5<2.5+\sqrt{ 16.025 }<7$

∴$m=6$…

(3)

①の解が二つの有理数であるためには、ルートの中(所謂判別式)が正で、かつある数の2乗にならなければならない。

①の判別式Dは、

$D=(4c-3)^2-4・2・(2c^2-c-11)$

$=16c^2-24c+9-16c^2+8c+88$

$=-16c+97$

Dは正だから、

$=-16c+97>0$

$16c<97$

$c<6.・・・$

cが正の整数であることを加味すると、題意を満たすcの候補は、

$c=1,2,3,4,5,6$

Dの値がある数の平方になるcを吟味すると、

$c=1のとき、D=-16+97=81=9^2$

$c=2のとき、D=-32+97=65$

$c=3のとき、D=-48+97=49=7^2$

$c=4のとき、D=-64+97=33$

$c=5のとき、D=-80+97=17$

$c=6のとき、D=-96+97=1=1^2$

以上のことから、①の解が二つの有理数であるような正の整数cの個数は3個である。…